Usos y Aplicaciones

Los máximos y mínimos los utilizamos en nuestra vida diaria un ejemplo de ello es: si deseas amurallar una terreno, pero solo posees una determinada longitud de valla, puedes utilizar los máximos y mínimos para que con esa longitud de valla, puedes amurallar (cubrir), la mayor cantidad de área.
Se usan en cálculos, ingenierías, etc.

Pasos de Resolución

1er Paso: Se calcula la derivada de la función.

2do Paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuación que la forma, a las soluciones obtenidas las llamamos valores críticos y probables máximos y mínimos.

3er Paso: Se verifican cada uno de los valores críticos y se calculan los signos de la derivada, empezando con la sustitución de un valor menor y después, se hace lo mismo para otro valor mayor que el.

Los valores numéricos obtenidos NO nos interesan, solo nos importa calcular el signo resultante.

Criterio de la Segunda Derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Criterio de la Primera Derivada

Criterio de la primera derivada es el método o teorema utilizado frecuentemente en cálculo  para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico.

Sentido de Concavidad

Definición de Concavidad:  Se dice que una función y = f(x) tiene convexidad hacia arriba en el intervalo (a,b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la función en uno de sus puntos a < x < b queda por debajo de la función. Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x₁ y x₂, el segmento que une los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Valores Criticos

En cálculo, los valores críticos son los puntos en los que una función tiene los máximos o mínimos
El valor crítico se designa mediante z _α/2 .

P(Z > z_α/2) = α/2     

 P[-z _α/2 < z < z _α/2] = 1 − α

α es rl nivel de significación.

1 − α es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%

Punto de Inflección

DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por:

TEOREMA  

Sea la ecuación de una función. Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Definicion de Maximos y Minimos (Absolutos y Relativos)

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Maximo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

 

Mínimo relativo

 

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Usos y Aplicaciones de Derivadas

El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, ingeniería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc.

Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio; en medicina para obtener un cálculo aproximado de la velocidad de reproducción de virus, bacterias etc.

En física donde la primera derivada se utiliza para la velocidad y la segunda para la aceleración.

En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

 

 

 Un ejemplo de su aplicación es :

 Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002×2+0.8×-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

Pasos de Resolución

1er Paso: Se calcula la derivada de la función.

2do Paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuación que la forma, a las soluciones obtenidas las llamamos valores críticos y probables máximos y mínimos.

3er Paso: Se verifican cada uno de los valores críticos y se calculan los signos de la derivada, empezando con la sustitución de un valor menor y después, se hace lo mismo para otro valor mayor que el.

Los valores numéricos obtenidos NO nos interesan, solo nos importa calcular el signo resultante.

Reglas de las Derivadas de Funciones Trasendentales, Trigonometricas, Exponenciales, Logaritmicas de Base y Naturales

Trascendentales
1. d (sen v) = cos v dv    dx                        dx


2. d (cos v) = -sen v dv
    dx                         dx


3. d (tg v) = sec2 v dv
   dx                      dx


4. d (ctgv) = - csc2 v dv
    dx                         dx


5. d (sec v)= tgv Secv dv
    dx                           dx

Trigonométricas

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Derivada de la función cotangente

Derivada de la función secante

Derivada de la función cosecante

 

 

 Exponenciales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

 

Logaritmo Base

 

 

Logaritmo Natural  

Reglas de las Derivadas de Funciones Algebraicas

Derivada de una constante es cero

          y= c  y´= 0

        d (c) = 0

        dx

Derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad

       y= x  y´= 1

        d (x) = 1

        dx

La derivada de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

       

       d (u+v-w) = dw + dv - dw

      dx                      dx    dx    dx

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante

      y= cx    y´= c

       d (cv) = c dv

        dx             dx

La derivada de un producto de las funciónes es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera

       d (uv) = udv + udw

       dx             dx        dx

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.

           y=Xn   y´= nx n-1

 

        d (vn) = nv n-1 dv

        dx                         dx 

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante

     d (u) = 1 dw

     dx  c     c  dx

Definicion de Derivadas

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función , según cambie el valor de su variable independiente.
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

Usos y Aplicaciones

Los máximos y mínimos los utilizamos en nuestra vida diaria un ejemplo de ello es: si deseas amurallar una terreno, pero solo posees una determinada longitud de valla, puedes utilizar los máximos y mínimos para que con esa longitud de valla, puedes amurallar (cubrir), la mayor cantidad de área.
Se usan en cálculos, ingenierías, etc.

Pasos de Resolución (Derivación)

1er Paso: Sumar el incremento ( ∆x)
2do Paso: Restar la función original

3er Paso: Dividir entre el incremento

4to Paso: Aplicar el lim ∆x= 0

Criterio de la Segunda Derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Criterio de la Primera Derivada

Criterio de la primera derivada es el método o teorema utilizado frecuentemente en cálculo  para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico.

Sentido de Concavidad

Definición de Concavidad:  Se dice que una función y = f(x) tiene convexidad hacia arriba en el intervalo (a,b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la función en uno de sus puntos a < x < b queda por debajo de la función. Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x₁ y x₂, el segmento que une los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Valores Criticos

En cálculo, los valores críticos son los puntos en los que una función tiene los máximos o mínimos
El valor crítico se designa mediante z _α/2 .

P(Z > z_α/2) = α/2     

 P[-z _α/2 < z < z _α/2] = 1 − α

α es rl nivel de significación.

1 − α es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.

Punto de Inflección

DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por:

TEOREMA  

Sea la ecuación de una función. Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo  relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

 

Mínimo relativo

 

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

 

Usos y Aplicaciones de Derivadas

El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, ingeniería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc.

Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio; en medicina para obtener un cálculo aproximado de la velocidad de reproducción de virus, bacterias etc.

En física donde la primera derivada se utiliza para la velocidad y la segunda para la aceleración.

En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

 

 

 Un ejemplo de su aplicación es :

 Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002×2+0.8×-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

Pasos de Resolución ( Derivación)

1er Paso: Sumar el incremento ( ∆x)
2do Paso: Restar la función original

3er Paso: Dividir entre el incremento

4to Paso: Aplicar el lim ∆x= 0

Reglas de las Derivadas de Funciones Trasendentales, Trigonometricas, Exponenciales, Logaritmicas de Base y Naturales

Trascendentales
1. d (sen v) = cos v dv    dx                        dx

2. d (cos v) = -sen v dv
    dx                         dx

3. d (tg v) = sec2 v dv
   dx                      dx

4. d (ctgv) = - csc2 v dv
    dx                         dx

5. d (sec v)= tgv Secv dv
    dx                           dx

Trigonométricas

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Derivada de la función cotangente

Derivada de la función secante

Derivada de la función cosecante

 Exponenciales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Logaritmo Base

Logaritmo Natural  

Reglas de las Derivadas de Funciones Algebraicas

Derivada de una constante es cero

          y= c  y´= 0

        d (c) = 0

        dx

Derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad

       y= x  y´= 1

        d (x) = 1

        dx

La derivada de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

       

       d (u+v-w) = dw + dv - dw

      dx                      dx    dx    dx

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante

      y= cx    y´= c

       d (cv) = c dv

        dx             dx

La derivada de un producto de las funciónes es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera

       d (uv) = udv + udw

       dx             dx        dx

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.

           y=Xn   y´= nx n-1

 

        d (vn) = nv n-1 dv

        dx                         dx 

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante

     d (u) = 1 dw

     dx  c     c  dx

Definicion de Derivadas

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función , según cambie el valor de su variable independiente.
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

 una función es continua en un intervalo si al trazar su gráfica se logra sin interrupciones   

Definición intuitiva: Una función continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin

levantar el lápiz del papel.

Propiedad: Para que una función  sea continua en un punto a es necesario y suficiente que:

a) Exista el valor de la función en el punto, f(a).

b) Existan los limites laterales,

l´ım x→a+ f(x)  y

l´ım x→a− f(x), y sean finitos e iguales entre s´ı e iguales a f(a), es decir:

l´ım  x→a+ f(x) = l´ım

        x→a− f(x) = f(a)

Tipos de limites

 Limites indeterminados 

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo . El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero, ¥ , -¥ , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

La indeterminación 

Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +¥ ó a -¥ es +¥ ó -¥ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xⁿ, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.
ejemplo:
 

La indeterminación 

Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.

ejemplo:

 y  lo que genera una indeterminación del tipo .

 si x ¹ 3, resulta que la función  coincide con la función (x + 3) salvo en x = 3.

Que es limite

Límites

Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite). Otras ocasiones, la función está definida en un punto, pero puede aproximarse a un límite diferente. Hay muchas, muchas veces donde el valor de la función es el mismo que el del límite en el punto. De cualquier manera, esto es una poderosa herramienta cuando comenzamos a pensar en la pendiente de una recta tangente a una curva. Si tienes conocimientos previos en álgebra (gráficas y funciones en particular) ¡vas a disfrutar esta lección!

Definición intuitiva: El limite F(x) cuando "x"

tiende a "c", en una constante L

Ejemplos de la aplicacion del calculo

• Cuando queremos hacer una venta o algún negocio nos enfrentamos querer producir o vender mas pero con las mínimas perdidas de material, o bien queremos reducir gastos. Este ejemplo se ve mucho en la industria.

• Al escuchar la radio o ver el periodico en el clima nos dan una maxima y una minima de temperatura. ejemplo: la temperatura de hoy sera la máxima de 29º y la mínima  de 16º

• Al  hacer un corral; ejemplo: un granjero requiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a la altura del rectángulo. El grajero dispone de 240 metros lineales para el cerco, incluyendo la valla. Encontrarlas dimensiones del corral de área máxima que puede construir.

Importancia del calculo el la vida diaria

El calculo es muy importante ya que en la vida diaria nos encontramos con situaciones y problemas que se relacionan con el calculo. Ademas de tener una estrecha relación con las matemáticas que son una base fundamental en nuestra vida. 

Trabajos de Leibniz

Casi al mismo tiempo, el filosofo y matemático alemán gottfriend Wilhelm Leibniz (1646-1716)  realizó investigaciones similares a las de Newton, e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de los tangentes y sus inversos, basándose en el triangulo característico de Barrow .los símbolos, la palabra derivada y el nombre de ecuaciones diferenciales se deben al Leibniz. Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos  "" y  "d" de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. En matemáticas su cálculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos
y el llamado triángulo característico.

Trabajos de Newton

En 1666  Isaac newton (1642-1727) fue el primero en desarrollar el método para resolver problemas de esta índole. Invento su propia versión del calculo para aplicar el movimiento de lo planetas alrededor del sol. Newton concibió el llamado método de las fluxiones, considerando ala curva como la trayectoria de un punto que fluye, el principio establece que: los momentos de las funciones son entre si como sus derivadas.
 De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en 
serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa
entre diferenciación e integración y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy
interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.

antecedentes del calculo

El cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez constituido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el algebra, la aritmética y la trigonometría. Se dedicaron en una nueva perspectiva teórica. El cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de xx siglos Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, o más bien coinventores.

 El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del cálculo diferencial  e integral. El calculo es la matemática del cambio, velocidades y aceleraciones, también es la  matemáticas de rectas, tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes, de arco, centroides, curvaturas, que puedan modelar situaciones de la vida real. El calculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con anterioridad, aunque las matemáticas previas al calculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas, tangentes, etc.…. las matemáticas previas al calculo son mas estáticas, en tanto que el calculo es mas dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en el movimiento, trata de cantidades que se aproxima a otras cantidades. De hecho, podríamos definir al cálculo como la parte de las matemáticas que trata con límites. Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el método de agotamiento. El método griego de agotamiento consistía en inscribir polígonos en figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura. Fue Arquímedes (287-212 a. n. e.) quien dio la descripción mas clara de este método. Los griegos no aplicaron explícitamente los límites, sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizo el agotamiento para probar la conocida formula del área de un circulo 2ra. El calculo diferencial se origina en el siglo xvll al  realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacio ya que cambia de un momento a otro, la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimal pequeño.