Usos y Aplicaciones

Los máximos y mínimos los utilizamos en nuestra vida diaria un ejemplo de ello es: si deseas amurallar una terreno, pero solo posees una determinada longitud de valla, puedes utilizar los máximos y mínimos para que con esa longitud de valla, puedes amurallar (cubrir), la mayor cantidad de área.
Se usan en cálculos, ingenierías, etc.

Pasos de Resolución

1er Paso: Se calcula la derivada de la función.

2do Paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuación que la forma, a las soluciones obtenidas las llamamos valores críticos y probables máximos y mínimos.

3er Paso: Se verifican cada uno de los valores críticos y se calculan los signos de la derivada, empezando con la sustitución de un valor menor y después, se hace lo mismo para otro valor mayor que el.

Los valores numéricos obtenidos NO nos interesan, solo nos importa calcular el signo resultante.

Criterio de la Segunda Derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Criterio de la Primera Derivada

Criterio de la primera derivada es el método o teorema utilizado frecuentemente en cálculo  para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico.

Sentido de Concavidad

Definición de Concavidad:  Se dice que una función y = f(x) tiene convexidad hacia arriba en el intervalo (a,b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la función en uno de sus puntos a < x < b queda por debajo de la función. Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x₁ y x₂, el segmento que une los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Valores Criticos

En cálculo, los valores críticos son los puntos en los que una función tiene los máximos o mínimos
El valor crítico se designa mediante z _α/2 .

P(Z > z_α/2) = α/2     

 P[-z _α/2 < z < z _α/2] = 1 − α

α es rl nivel de significación.

1 − α es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%

Punto de Inflección

DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por:

TEOREMA  

Sea la ecuación de una función. Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Definicion de Maximos y Minimos (Absolutos y Relativos)

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Maximo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

 

Mínimo relativo

 

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Usos y Aplicaciones de Derivadas

El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, ingeniería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc.

Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio; en medicina para obtener un cálculo aproximado de la velocidad de reproducción de virus, bacterias etc.

En física donde la primera derivada se utiliza para la velocidad y la segunda para la aceleración.

En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

 

 

 Un ejemplo de su aplicación es :

 Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002×2+0.8×-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

Pasos de Resolución

1er Paso: Se calcula la derivada de la función.

2do Paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuación que la forma, a las soluciones obtenidas las llamamos valores críticos y probables máximos y mínimos.

3er Paso: Se verifican cada uno de los valores críticos y se calculan los signos de la derivada, empezando con la sustitución de un valor menor y después, se hace lo mismo para otro valor mayor que el.

Los valores numéricos obtenidos NO nos interesan, solo nos importa calcular el signo resultante.

Reglas de las Derivadas de Funciones Trasendentales, Trigonometricas, Exponenciales, Logaritmicas de Base y Naturales

Trascendentales
1. d (sen v) = cos v dv    dx                        dx


2. d (cos v) = -sen v dv
    dx                         dx


3. d (tg v) = sec2 v dv
   dx                      dx


4. d (ctgv) = - csc2 v dv
    dx                         dx


5. d (sec v)= tgv Secv dv
    dx                           dx

Trigonométricas

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Derivada de la función cotangente

Derivada de la función secante

Derivada de la función cosecante

 

 

 Exponenciales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

 

Logaritmo Base

 

 

Logaritmo Natural  

Reglas de las Derivadas de Funciones Algebraicas

Derivada de una constante es cero

          y= c  y´= 0

        d (c) = 0

        dx

Derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad

       y= x  y´= 1

        d (x) = 1

        dx

La derivada de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

       

       d (u+v-w) = dw + dv - dw

      dx                      dx    dx    dx

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante

      y= cx    y´= c

       d (cv) = c dv

        dx             dx

La derivada de un producto de las funciónes es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera

       d (uv) = udv + udw

       dx             dx        dx

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.

           y=Xn   y´= nx n-1

 

        d (vn) = nv n-1 dv

        dx                         dx 

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante

     d (u) = 1 dw

     dx  c     c  dx

Definicion de Derivadas

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función , según cambie el valor de su variable independiente.
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.