Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

 una función es continua en un intervalo si al trazar su gráfica se logra sin interrupciones   

Definición intuitiva: Una función continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin

levantar el lápiz del papel.

Propiedad: Para que una función  sea continua en un punto a es necesario y suficiente que:

a) Exista el valor de la función en el punto, f(a).

b) Existan los limites laterales,

l´ım x→a+ f(x)  y

l´ım x→a− f(x), y sean finitos e iguales entre s´ı e iguales a f(a), es decir:

l´ım  x→a+ f(x) = l´ım

        x→a− f(x) = f(a)

Tipos de limites

 Limites indeterminados 

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo . El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero, ¥ , -¥ , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

La indeterminación 

Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +¥ ó a -¥ es +¥ ó -¥ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xⁿ, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.
ejemplo:
 

La indeterminación 

Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.

ejemplo:

 y  lo que genera una indeterminación del tipo .

 si x ¹ 3, resulta que la función  coincide con la función (x + 3) salvo en x = 3.

Que es limite

Límites

Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite). Otras ocasiones, la función está definida en un punto, pero puede aproximarse a un límite diferente. Hay muchas, muchas veces donde el valor de la función es el mismo que el del límite en el punto. De cualquier manera, esto es una poderosa herramienta cuando comenzamos a pensar en la pendiente de una recta tangente a una curva. Si tienes conocimientos previos en álgebra (gráficas y funciones en particular) ¡vas a disfrutar esta lección!

Definición intuitiva: El limite F(x) cuando "x"

tiende a "c", en una constante L